我们开始从经典代数几何逐渐过渡到现代代数几何 , 本文是代数几何专题中的概形理论第五篇 , 主要内容是模层 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 .
前面几篇文章我们讨论了概形和概形之间的态射 , 除了结构层以外没有提到任何层 , 本文我们考虑概形上的模层 , 模层这一工具可以大大提高代数几何中的技巧 , 而拟凝聚层和凝聚层很重要 , 它们起着环上模特别是有限生成模的作用 . 因此我们重点阐述拟凝聚层和凝聚层的基本性质 , 以及介绍 Serre 关于射影概形的扭变层 . 那么下面我们来从定义环层空间的模层 .
定义1：令 是环层空间 , 模层简称为 -模 , 是 上的层 , 使得对每个开子集 , 群 是 -模 , 而对每个开子集的包含关系 , 限制同态 是通过环同态 与模结构相容 . -模的层的态射 是层的态射 , 使得对每个开集 , 存在映射 是 -模的同态 .根据上述定义 , 我们注意到 -模的态射的核 , 余核和象仍为 -模 . 如果 是 -模 的 -模子层 , 那么商层 是 -模 , 而 -模的任何直和 , 直积 , 正向极限和逆向极限均为 -模 . 如果 和 是两个 -模 , 那么用 来表示从 到 的态射的群 . 如果 -模和态射的序列作为 Abel 群的层的序列是正合序列 , 那么 -模和态射的序列就是正合序列 .
如果 是 的开子集 , 是 -模 , 那么 是 -模 , 而如果 和 是两个 -模 , 那么预层 是层 , 它也是 -模 . 我们还可以定义两个 -模的张量积 为和预层 相伴的层 .
如果 -模 同构于一些 的直和 , 那么称 -模 是自由层 . 如果 能用开集 覆盖且 是一个自由 -模 , 那么称 -模 是局部自由层 , 此时 在开集 上的秩是构成 所需要的结构层的个数 , 这个个数可以是有限的也可以是无限的 . 如果 是连通概形 , 那么局部自由层 的秩对每个开集 均相等 . 于是我们称秩为 的局部自由层为可逆层 .
上的理想层是模层 是 的子层 , 即对每个开集 , 是 中的理想 . 令 是环层空间的态射 , 如果 是 -模 , 那么 是 -模 , 由于存在 上环层的态射 且这个态射给出 -模的自然结构 , 则称 为由态射 得到的层 的正象 . 而令 是 模层 , 则 是 -模 , 根据映射 的伴随性质可知 , 存在 上环层的态射 . 定义 为张量积 , 于是可以得到 是 -模并称它是由态射 得到的层 的逆象 . 其中 的伴随性质指的是令 是拓扑空间的连续映射 , 对 上的任何层 存在自然映射 和对 上的任何层 存在自然映射 , 则有 , 故 是 的左伴随和 是 的右伴随 .
再次根据 伴随性质可知 , 和 是 -模范畴和 -模范畴之间的相伴函子 , 此时对任意 -模 和 -模 , 存在群的自然同构 .
现在有了环层空间上模层的一般定义了 , 然后将它应用于概形的情形 , 下面我们从环 上的模 相伴的 上的模层 .
定义2：设 是环且 是 -模 , 定义 上与 相伴的层 如下 , 对每个素理想 , 令 是 在素理想 处的局部化 , 对任意开集 , 定义群 为函数 的集合且满足对每个 有 使得 局部地是一个分数 , 其中 和 . 确切地说 , 既然要求对每个 , 存在 在 中的邻域 , 以及存在元素 和 使得对每个 有 但在 中有 , 然后利用限制映射 使得 成为层 .关于环 上的模 相伴的 上的模层 , 有下面的两个命题 .
命题1：设 是环且 是 -模 , 以及 是与 相伴的 上的层 , 则有(i) 是 -模 ;
(ii) 对每个点 , 层 在素理想 的基 同构于局部化模 ;
(iii) 对任意元素 , -模 同构于局部化模 ;
(iv) 特别地 .
证明：根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第二篇：概形》中关于结构层 的构造可知 , 显然 是 -模 , 至于(ii)~(iv)的证明 , 我们可以等同于《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第二篇：概形》中命题2的(i)~(iii) , 只需要在某些恰当的地方用 代替 即可 .
命题2：设 是环且 , 令 是环同态 , 而 是相应的谱的态射 , 则有(i) 映射 给出从 -模范畴到 -模范畴的完全忠实的正合函子 ;
(ii) 如果 和 是两个 -模 , 那么 ;
根据凝聚层的定义 , 我们有下面的推论 .
推论20：设 是域 上有限型概形的射影态射 , 是 上的凝聚层 , 则 是概形 上的凝聚层 .证明：这是关于概形 上局部性质的问题域 , 故假设 , 其中 是有限生成 -代数 , 于是根据《命题8的(iii)可知 , 在任何情形下 是拟凝聚层 , 进而得到 , 但根据定理19可知 , 是有限生成 -模 , 因此 是凝聚层 .
参考文献和推荐阅读：
Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52